大学入試数学過去問
大学入試数学過去問

k90ksb1

f(x)はすべての実数で定義された関数でf''(x)>0をみたすとする．実数aを1つ固定して，新しい関数g(x)を
g(x)=\begin{case}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}& x\neq a \\f'(a) & x=a\end{case}
と定義する．このときg(x)は増加関数であることを示せ．
x>aのとき，平均値の定理よりg(x)-g(a)=f'(b)-f'(a)=(b-a)f''(c)>0 (a<c<b<x)となるb,cが存在する．
従ってg(a)<g(x)．同様にx<aのときg(x)<g(a)．これよりh≠0に対し\frac{g(a+h)-g(a)}{h}&gt;0なのでg'(a)≧0．
x>aのとき，平均値の定理より
g&#039;(x)=\frac{(x-a)f&#039;(x)-f(x)+f(a)}{(x-a)^2}=\frac{f&#039;(x)-f&#039;(b)}{(x-a)}=\frac{(x-b)f&#039;&#039;(c)}{x-a}&gt;0 (a<c<b<x)となるb,cが存在する．
従ってg'(x)>0．同様にx<aのときg'(x)>0．
以上よりg(x)が増加関数であることが示された．
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最終更新：2013年10月02日 11:57