大学入試数学過去問
大学入試数学過去問

k90ksb3

関数y=logxのグラフ上の一点P(s,logs)(s≧1)における接線とy軸の交点をQとする．グラフ上に定点A(1,0)をとる．AP間のグラフの長さを\frown\atop{AP}，線分PQの長さを\overline{PQ}とし，t=\overline{PQ}-{\frown\atop AP}とする．
tはsの関数である:t=t(s).
(1)\frac{dt}{ds}をsで表せ．またtはsの減少関数であることを示せ．
t_0=\lim_{s\to\infty}tとおく．以下t_0<t\leq t(1)の範囲で考える．
(2)u=\frac1s，v=\sqrt{1+u^2}とおくとき，\frac{du}{dt}，\frac{dv}{dt}をuの関数として表せ．
(3)uをtの関数として表せ．また，t_0の値を求めよ．
(1)
{\frown\atop{AP}}=\int_1^s\sqrt{1+(\frac{d(logx)}{dx})^2}dx=\int_1^s\sqrt{1+\frac1{x^2}}dx．
Pにおける接線の式はy=\frac1s(x-s)+\log sであるから，Qのy座標は\log s-1．
従って\overline{PQ}=\sqrt{s^2+1}．
これらより
\frac{dt}{ds}=\frac{s}{\sqrt{s^2+1}}-\sqrt{1+\frac1{s^2}}=\frac{s^2-(1+s^2)}{s\sqrt{1+s^2}}=-\frac1{s\sqrt{1+s^2}．
またs≧1なので\frac{dt}{ds}<0よりtはsの減少関数である．
(2)
\frac{du}{dt}=\frac{du}{ds}\frac{ds}{dt}=-\frac1{s^2}(-s\sqrt{1+s^2})=\sqrt{1+u^2}.
\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{du}\frac{du}{dt}=\frac{u}{\sqrt{1+u^2}}\frac{du}{dt}=u．
(3)
\frac{d^2u}{dt^2}=uを解いて，u=C_1e^t+C_2e^{-t}，(C_1,C_2は積分定数)．
1=(\frac{du}{dt})^2-u^2=-4C_1C_2．
また，s=1のときu=1，t=\sqrt{2}であるから1=C_1e^{\sqrt{2}}+C_2e^{-\sqrt2}．
これらより，C_1e^{\sqrt{2}},C_2e^{-\sqrt2}を根とする二次方程式はx^2-x-\frac14=0であり，解はx=\frac{1\pm\sqrt2}2．
0<\frac{du}{dt}|_{t=\sqrt2}=C_1e^{\sqrt2}-C_2e^{-\sqrt2}であることに注意して，
C_1=\frac{1+\sqrt2}2e^{-\sqrt2}，C_2=\frac{1-\sqrt2}2e^{\sqrt2}．
従ってu=\frac{(1+\sqrt2)e^{t-\sqrt2}+(1-\sqrt2)e^{-t+\sqrt2}}4．
また，s\to\inftyのときu\to0なので，t_0はu=0の根．
(u,t)=(0,t_0)をuの式に代入して，
(1+\sqrt2)e^{t_0-\sqrt2}+(1-\sqrt2)e^{-t_0+\sqrt2}=0だから
e^{2(t_0-\sqrt2)}=\frac{\sqrt2-1}{\sqrt2+1}=(\sqrt2-1)^2．
従ってt_0=\log(\sqrt2-1)+\sqrt2．
「k90ksb3」をウィキ内検索
最終更新：2013年10月02日 17:20