大学入試数学過去問
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k90ks4

座標空間に3点P,Q,Rがあって毎秒1の速さで，それぞれ
点Pは原点(0,0,0)を出発してx軸上を正の方向へ，
点Qは点(2,0,0)を出発してy軸と平行に正の方向へ，
点Rは点(2,2,0)を出発してz軸と平行に正の方向へ
進む．このとき三角形PQRの面積Sが最小となるのは何秒後か．
点P,Q,Rが出発してからt秒経過したとする．P(t,0,0),Q(2,t+2,0),R(2,2,t+2)．
点(2,2,0)をAとおく．四面体APQRの体積Vは，三角形AQRを底面とみなすとV=\frac{t(t+2)|t-2|}6．
また，PQRを含む平面を平面αとおき，αとAの距離をdとおく．
PQと平面y=2の交点をNとおき，点(2,0,0)をBとおくと，△QNA∽△QPBよりNは(\frac{(t+2)(t-2)}t+2,2,0)．
P,Q,Nを含むので，αの式は\frac{(x-2)t}{(t-2)(t+2)}+\frac{y-2}{t}+\frac{z}{t+2}=1であるから，
α上の点(x,y,z)について
1=|(x-2,y-2,z)\cdot(\frac{t}{(t-2)(t+2)},\frac1{t},\frac1{t+2})|^2\leq ((x-2)^2+y^2+z^2)(\frac{t^2}{(t-2)^2(t+2)^2}+\frac1{t^2}+\frac{1}{(t+2)^2})
なので，((x-2)^2+(y-2)^2+z^2)の最小値つまりd^2は(\frac{t^2}{(t-2)^2(t+2)^2}+\frac1{t^2}+\frac{1}{(t+2)^2})^{-1}となる．
ここで，V=\frac{Sd}3であるから，
S=\frac{3V}d=\frac{t(t+2)|t-2|}2\sqrt{\frac{t^2}{(t-2)^2(t+2)^2}+\frac1{t^2}+\frac{1}{(t+2)^2}}=\frac{\sqrt{3t^4-4t^3-4t^2+16}}2
f(t)=3t^4-4t^3-4t^2+16とおくとf'(t)=4t(3t^2-3t+2)である．
3t^2-3t+2=0を解くとt=\frac{3\pm\sqrt{33}}6となることより，
0≦tにおけるf(t)の最小を与えるtの値は\frac{3\pm\sqrt{33}}6．
このときSも最小となるので求める時刻は\frac{3\pm\sqrt{33}}6秒後．
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最終更新：2013年10月02日 19:51