平面上に2つの円C,C'がある．1次変換fは逆変換をもち，かつCをC'にうつしている．
(1)lをC上の1点Pにおける接線とする．このときlのfによる像l'は点f(P)におけるC'の接線である．この理由を述べよ．
(2)AをCの中心とすれば，f(A)はC'の中心となる．この理由を述べよ．
(1)
fは逆変換を持つので，点P,Qに対しf(P)=f(Q)ならば
である．
従って相異なる2点は相異なる2点に移る．
lの式はx=(tの1次以下の式),y=(tの1次以下の式)と書けるが，l'の式もx=(tの1次以下の式)，y=(tの1次以下の式)となる．
従ってl'は直線か点であるが，l上の相異なる2点がl'上の相異なる2点に移るのでl'は直線．
また，相異なる2点は相異なる2点に移るからl'とC'の共有点はf(P)のみ．
これらより，l'はC'と一点f(P)を共有する直線なので，これはf(P)における接線である．
(2)
Aを通る直線lとCの交点をP,Qとおく．PとQは相異なるのでf(P)≠f(Q)．
より
であるから，f(P)f(A)=f(A)f(Q)．
これよりf(A)はC'の弦f(P)f(Q)の垂直二等分線上にある．
lと異なる直線についても交点をR,Sとおくと同様のことが言えるのでf(A)は弦f(R)f(S)の垂直二等分線上にある．
弦f(P)f(Q)と弦f(R)f(S)は相異なるのでf(A)はC'の中心である．
最終更新：2013年10月02日 20:27
