大学入試数学過去問
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k90ks6

n本のくじの中に1本だけ当たりくじがある．このくじを無作為に1本ひき，ひいたくじをもとに戻すという試行をl回くり返す．l回のうち当たった回数をXとする．確率変数X_i(1≦i≦l)を次により定める．
X_i=1(i回目に当たりくじがでたとき),X_i=0(i回目に当たりくじがでないとき．
(1)確率変数XをX_i(1≦i≦l)で表せ．
(2)X^2の期待値E(X^2)を求めよ．
(3)E(X^2)>2となる最小のlは何か．
(1)
X=\sum{i=1}^lX_i．
(2)
E(X_i)=E(X_i^2)=\frac1nなので，
E(X^2)=\sum_{i=1}^l\sum_{j=1}^lE(X_iX_j)=\sum_{i}E(X_i^2)+\sum_{i\neq j}E(X_i)E(X_j)=\frac{l}n+\frac{l(l-1)}{n^2}．
(3)
条件はl^2+(n-1)l-2n^2>0と同値であり，左辺はlに関して単調増加．
l=nのときE(X^2)=1+\frac{n-1}n<2，l=n+1のときE(X^2)=\frac{n+1}n+\frac{n+1}n>2．
従って求めるlはn+1．
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最終更新：2013年10月02日 21:04