大学入試数学過去問
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k91s1

y軸上の点P(0,-p) (p>0)と定点A(0,2)に対し，APを直径とする円をCとする．点Q(s,t) (s≧0)をPCの中点=「Cと直線y=1の交点」となるようにとる．
(1)s,tを求めよ．
(2)Pがy軸上の負の部分の全てを動くとき，対応するQ全体はどのような曲線となるか．また直線PQはこの曲線の点Qでの接線となっていることを示せ．
(1)Cは中心(0,\frac{2-p}2)，半径\frac{2+p}2の円であるから，y=1との交点のx座標をaとおくとa^2+(1-\frac{2-p}2)^2=(\frac{2+p}2)^2よりa=\pm\sqrt{1+p}．
Qの定義より\frac{0+s}2=aであり，s≧0よりs=2a=\sqrt{1+p}．
また，\frac{-p+t}2=1よりt=p+2．
(2)
(1)の結果よりt=s^2+1(s≧1)が成り立つので，Q全体はy=x^2+1(x≧1)を動く．
このとき，Qにおけるこの曲線の接線の傾きは2s．
ここでPQの傾きも\frac{t-(-p)}{s-0}=\frac{2(p+1)}{\sqrt{1+p}}=2\sqrt{1+p}=2sであり，
PQは点Qを通るので，直線PQは点Qにおける接線である．
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最終更新：2013年10月03日 03:23