大学入試数学過去問
大学入試数学過去問

k91s2

行列\begin{pmatrix}1&-1\\-2&2\end{pmatrix}で表される1次変換をfとする．
(1)fによる全平面の像は直線l:2x+y=0であることを示せ．
(2)平面上の点P(x,y)に対し，l上の点でPとの距離が最小となる点をQとし，fによる像がQとなる点のうちで，原点との距離が最小となる点をP'とする．P'の座標(x',y')をx,yで表せ．
(3)点P(x,y)に点P'(x',y')を対応させる写像をgとする．合成写像f\circ g\circ fおよびg\circ f\circ gを求めよ．
(1)
平面上の点P(x,y)に対し，f(P)={x-y\choose -2x+2y}であり，このとき2(x-y)+(-2x+2y)=0が成り立つので，fによる全平面の像は直線lに含まれる．
また，直線l上の任意の点(x,-2x)に対し，x軸上の点P(x,0)をとるとf(P)={x\choose -2x}が成り立つので，直線lはfによる全平面の像に含まれる．
以上より示された．
(2)
R(p,q)に対し，\vec{Pf(R)}とlが直交することが，f(R)=Qであることの必要十分条件である．
\vec{Pf(R)}={p-q-x\choose -2p+2q-y}がlの法線ベクトル2\choose 1に平行ならばlと直交する．
このときp-q-x=2(-2p+2q-y)つまり5(p-q)=x-2y．
従ってRは傾き1，y切片\frac{x-2y}5の直線上にあるが，この直線にOから下ろした垂線の足がP'であり，P'(\frac{x-2y}{10},-\frac{x-2y}{10})となる．
(3)
gは行列\begin{pmatrix}\frac1{10}&-\frac15\\-\frac1{10}&\frac15\end{pmatrix}で表される一次変換である．
f,gを表す行列をF,Gとおくと，
GF=\begin{pmatrix}\frac12&-\frac12\\-\frac12&\frac12\end{pmatrix}
FGF=\begin{pmatrix}1&-1\\-2&2\end{pmatrix}=F
GFG=\begin{pmatrix}\frac1{10}&-\frac15\\-\frac1{10}&\frac15\end{pmatrix}=G
であるから，
f\circ g\circ f=fおよびg\circ f\circ g=g．
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最終更新：2013年10月03日 04:08