大学入試数学過去問
大学入試数学過去問

k91s3

3組の対辺が互いに垂直であるような四面体Vがある．このとき，Vの各辺の中点はVの重心を中心とするある1つの球面上にあることを示せ．
Vの重心をO，四面体の頂点をA,B,C,D，\vec{OA}=\vec{a}，\vec{OB}=\vec{b}，\vec{OC}=\vec{c}，\vec{OD}=\vec{d}とおく．
Oは重心なので\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}=0．
ここで，辺の中点2つとOの距離の平方の差を考える
|\frac{\vec{a}+\vec{b}}2|^2-|\frac{\vec{a}+\vec{c}}2|^2=(\frac{2\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}2)\cdot(\frac{\vec{b}-\vec{c}}2)=(\frac{\vec{a}-\vec{d}}2)\cdot(\frac{\vec{b}-\vec{c}}2)=0 (∵AD⊥BC)．
これより，ABの中点とOの距離はACの中点とOの距離と等しい．同様に，ABの中点とOの距離は，CD以外の辺の中点のOの距離と等しいことが言え，さらに，BCの中点とOの距離はCDの中点とOの距離に等しいことが言えるので，Vの各辺の中点とOの距離はいずれも等しい．よってこれらはVの重心Oを中心とする球面上にある．
「k91s3」をウィキ内検索
最終更新：2013年10月03日 04:22