11s2

実数x の小数部分を, 0≦y＜1かつx − yが整数となる実数y のこととし, これを記号 $\langle x\rangle$ で表す。
実数a に対して, 無限数列 $\{a_n\}$ の各項 $a_n$ (n =1, 2, 3, …)を次のように順次定める。
(i) $a_1 = \langle a\rangle$
(ii) $a_n \neq 0$ のとき， $a_{n+1}=\left\langle\frac{1}{a_n}\right\rangle$
$a_n = 0$ のとき， $a_{n+1}=0$
(1) $a = \sqrt{2}$ のとき, 数列 $\{a_n\}$ を求めよ。
(2) 任意の自然数n に対して $a_n=a$ となるような $\frac{1}{3}$ 以上の実数a をすべて求めよ。
(3) a が有理数であるとする。a を整数p と自然数q を用いて $a=\frac{p}{q}$ と表すとき, q以上のすべての自然数n に対して, $a_n=0$ であることを示せ。

(1)
$a_n=\sqrt{2}-1$ であることを数学的帰納法で示す．
$a_1=\langle\sqrt{2}\rangle=\sqrt{2}-1$ ．
$a_k=\sqrt{2}-1$ のとき，
$a_{k+1}=\left\langle\frac{1}{a_k}\right\rangle=\left\langle\sqrt{2}+1\right\rangle=\sqrt{2}-1$
となり，k+1でも成立．
(2)
$a=a_1=\langle a\rangle$ より $0\leq a<1$ ．
$a\geq\frac{1}{3}$ より $\frac{1}{a}\leq3$ であるから，
$a=a_2=\left\langle\frac{1}{a}\right\rangle=\frac{1}{a} , \frac{1}{a}-1 , \frac{1}{a}-2$ .
$\frac13\leq a<1$ を満たすのは $a=\sqrt{2}-1,\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ ．
このとき確かに任意の自然数nについて $a_n=a$ となる．
(3)
aが有理数のとき $a_n$ は正の有理数なので自然数 $q_n$ ， $p_n$ を用いて $a_n=\frac{p_n}{q_n}$ とおく．
$a_q\neq0$ と仮定する．
$a_n$ の定義より $q_1=q$ ， $p_n&lt;q_n$ ．また，n<qで $q_{n+1}=p_n$ である．
$q=q_1\geq q_2+1\geq\cdots\geq q_q +q-1>p_q+p-1$ これより $p_q=0$ となり矛盾．
これより $a_q=0$ であるが，定義よりq以上のすべての自然数nに対して $a_n=0$ ．

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最終更新：2011年10月20日 15:29

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