大学入試数学過去問
大学入試数学過去問

k91s4

実数a,b(0\leq a<\frac{\pi}4,0\leq b<\frac{\pi}4)に対し次の不等式の成り立つことを示せ．
\sqrt{\tan a\cdot\tan b}\leq\tan(\frac{a+b}2)\leq\frac12(\tan a+\tan b)
関数f(x)とd≧0に対し，g(x)=\frac{f(x+d)+f(x-d)}2-f(x)を考える．
d=0のときg(x)=0．以下，d>0であるとする．
平均値の定理より，2g(x)=(f(x+d)-f(x))-(f(x)-f(x-d))=df'(y)-df'(z)=d(y-z)f''(w)とx-d<z<x<y<x+d，z<w<yを満たすy,z,wが存在する．
従って，x-d<k<x+dで常にf"(k)>0ならばg(x)>0，同じ区間で常にf"(k)<0ならばg(x)<0となる．

さて，f(x)=\tan xとおくとf&#039;(x)=\frac1{\cos^2x}，f&#039;&#039;(x)=\frac{2\sin x}{\cos^3x}&gt;0 (0&lt; x&lt;\frac{\pi}4)であるから，
a,b=x±dとおくと，\tan(\frac{a+b}2)\leq\frac12(\tan a+\tan b)が言える．
また，f(x)=\log(\tan x)とおくと，f&#039;(x)=\frac2{\sin2x}，f&#039;&#039;(x)=-\frac{4\cos 2x}{\sin^22x}&lt;0(0&lt; x&lt;\frac{\pi}4)であるから
a,b=x±dとおくと，\log(\tan(\frac{a+b}2))\geq\frac12(\log(\tan a)+\log(\tan b))であり，
両辺のexpをとると\sqrt{\tan a\cdot\tan b}\leq\tan(\frac{a+b}2)が言える．
これらの等号成立はd=0つまりa=bのとき．
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最終更新：2013年10月03日 04:55