大学入試数学過去問
大学入試数学過去問

k91s5

袋の中にN個の白球と3個の赤玉がある．「袋の中の(N+3)個の玉から無作為に1個を取り出し，つぎに(外部にある)白玉を1個袋に入れる」という試行を繰り返す．n回目の試行で赤玉をとりだす確率をP_nとする．またn回目の試行を行う前，袋の中に赤玉がi個(i=1,2,3)あり，かつn回目の試行で赤玉を取り出す確率をP_{i,n}(i=1,2,3)とする．従って$$P_n=P_{1,n}+P_{2,n}+P_{3,n}である．
(1)P_{1,n+1},P_{2,n+1},P_{3,n+1}をP_{1,n},P_{2,n},P_{3,n}で表す式(漸化式)を求めよ．
(2)P_{n+1}をP_nで表す式を求め，P_nを求めよ．
(1)
n回目の試行を行う前，袋の中に赤玉がi個(i=1,2,3)ある確率をQ_{i,n}とおくと，P_{i,n}=Q_{i,n}\cdot\frac{i}{N+3}．
これより，n+1回目の試行を行う前，袋の中に赤玉がi個(i=1,2,3)ある確率Q_{i,n+1}は
Q_{i,n+1}=P_{i+1,n}+Q_{i,n}(1-\frac{i}{N+3}) ただし，P_{4,n}=0と定義した．
従ってP_{i,n+1}=\frac{i+1}{N+3}P_{i+1,n}+\frac{N+3-i}{N+3}P_{i,n}．(ただしP_{4,n}=0)．
(2)
P_{3,n+1}=\frac{N}{N+3}P_{3,n}，P_{3,1}=\frac{3}{N+3}より，P_{3_n}=\frac3N(\frac{N}{N+3})^n．
P_{2,n+1}=\frac{2}{N+3}P_{3,n}+\frac{N+1}{N+3}P_{2,n}であり，
R_n=P_{2,n}(\frac{N+3}{N})^nとおくと，R_{n+1}=\frac6{N^2}+\frac{N+1}NR_n．
これより(R_{n+1}+\frac6N)=\frac{N+1}N(R_n+\frac6N)．P_{2,1}=0よりR_1=0だから，R_n=\frac6N((\frac{N+1}N)^{n-1}-1)．
従ってP_{2,n}+P_{3,n}=(R_n+\frac3N)(\frac{N}{N+3})^n=\frac{3}{N+3}(\frac{2(N+1)^{n-1}-N^{n-1}}{(N+3)^{n-1}})．
(1)の結果を足しあわせて
P_{n+1}=P_{3,n}+P_{2,n}+\frac{N+2}{N+3}P_{1,n}=\frac{N+2}{N+3}P_n+\frac{3}{(N+3)^2}(\frac{2(N+1)^{n-1}-N^{n-1}}{(N+3)^{n-1}})．
ここで，S_n=P_n(\frac{N}{N+3})^nとおくと，S_{n+1}=\frac{N+2}NS_n+\frac3{N^2}(2(\frac{N+1}N)^{n-1}-1)．
これよりS_{n+1}-\frac3{2N}=\frac{N+2}N(S_n-\frac3{2N})+\frac6{N^2}(\frac{N+1}N)^{n-1}．
T_n=(S_n-\frac3{2N})(\frac{N+1}N)^nとおくと，T_{n+1}=\frac{N+2}{N+1}T_n+\frac6{(N+1)^2}．
T_{n+1}+\frac3{N+1}=\frac{N+2}{N+1}(T_n+\frac3{N+1})．
T_1=(S_1-\frac3{2N})\frac{N+1}N=(\frac N{N+3}P_1-\frac3{2N})\frac{N+1}N=3(N+1)(\frac{1}{(N+3)^2}-\frac{1}{2N^2})より，
T_n=3(N+1)(\frac{1}{(N+3)^2}-\frac{1}{2N^2}+\frac1{(N+1)^2})(\frac{N+2}{N+1})^{n-1}-\frac3{N+1}．
以下，順に代入してS_n，P_nが求まる．（略）
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最終更新：2013年10月03日 15:37