k91s6

関数y=f(x) (x≧0)は次の条件①，②を満たしている．
①f(x)は微分可能でf'(x)は連続，かつf(x)>0
②正の定数aがあって $\int_0^x(f(t))^{-a}dt=\int_a^{f(x)}(e^{-\frac{t^2}}2+t^{-a})dt$
(1)②の等式の両辺をxで微分して得られる(yの満たす)微分方程式を書け．またf(0)の値を求めよ．
(2)正の定数b,cがあって次の不等式(イ)(ロ)を満たしていることを示せ．
(イ) b≦f'(x)≦1 (ロ) $0\leq f(x)(\frac1{f'(x)}-1)\leq c$ ．
(3) $\lim_{x\to\infty}f'(x)$ を求めよ．またf'(x)の最小値を求めよ．

(1)
②を微分して $y^{-a}=y'(e^{-\frac{y^2}2+y^{-a})$ ．
また，②にx=0を代入して
$0=\int_a^{f(0)}(e^{-\frac{t^2}}2+t^{-a})dt$ であり，0<a,f(0)より被積分関数は常に正．従ってf(0)=a．
(2)
(1)の結果より $y'=\frac1{y^ae^{-\frac{y^2}2}+1}$ ． $g(y)=y^ae^{-\frac{y^2}2}$ とおくと $y'=\frac1{1+g(y)}$ ．
①よりy>0なのでg(y)>0よりy'<1．
$\lim_{y\to\infty}g(y)=0$ と収束するので，g(y)には最大値が存在する．これを $\frac1b-1$ とおくと，y'≧b$$．
これらより(イ)が成立するようなbが存在する．
また， $f(x)(\frac1{f'(x)}-1)=yg(y)$ であり，y>0，g(y)>0より0<yg(y)．
y>0であり， $\lim_{y\to\infty}yg(y)=0$ と収束するので，yg(y)には最大値が存在する．これをcとおくとyg(y)≦c．
これらより(ロ)が成立するようなcが存在する．
(3)
$f(x)=a+\int_0^xf'(t)dt>a+bx$ であるから， $x\to\infty$ ならば $y\to\infty$ ．
これより $\lim_{x\to\infty}f'(x)=\lim_{y\to\infty}y'=1$ ．
$\frac{dg(y)}{dy}=(\frac{a}y-y)g(y)$ であるから，g(y)は $y=\sqrt{2}$ で最大値 $g(\sqrt2)=\frac{2^{\frac{a}2}}e$ をとる．
このとき， $y'=\frac1{1+g(y)}$ は最小となり，その値は $\frac e{e+2^{\frac{a}2}}$ ．

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最終更新：2013年10月03日 16:40

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