大学入試数学過去問
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k91ksa2

1辺の長さ2cmの正四面体を，1つの面を下にして水平面上に置く．この正四面体の各辺の中点を頂点とする正八面体Hを中空の容器と考える．
(1)容器Hの高さh_0(cm)を求めよ．
(2)水を毎秒1cm^3の割合でHに注入するとき，水面の高さがhcm(0\leq h\leq h_0)になるまで要する時間t(秒)を求めよ．
(1)
水平面上に置いた正四面体の底面を三角形ABC，残りの頂点をOとする．
OA,OB,OC,AB,BC,CAの中点をそれぞれP,Q,R,S,T,Uとおく．
また，OからABCに下ろした垂線の足をHとおく．
AT=\sqrt{AB^2-BT^2}=\sqrt3であり，Hは△ABCの重心であるからAH=\frac{2\sqrt3}3．
これよりOH=\sqrt{OA^2-AH^2}=\frac{2\sqrt6}3．
求める高さはこの半分であるから，h_0=\frac{\sqrt6}3(cm)．
(2)
△ABCの面積は\frac{AT\cdot BC}2=\sqrt3．
高さがhcmの時の水面を含む面での四面体OABCの断面を考える．
この断面の三角形を底面としてOを頂点の一つとする四面体は四面体OABCに相似であり，相似比は2h_0-h:2h_0なので，
この断面の面積は\sqrt3(\frac{2h_0-h}{2h_0})^2．
また，同じ面と四面体PAUS，PBST，PCTUの断面の面積も同様に\frac{\sqrt3}4(\frac{h_0-h}{h_0})^2．
これらより水面の面積は\sqrt3(\frac{2h_0-h}{2h_0})^2-3\frac{\sqrt3}4(\frac{h_0-h}{h_0})^2=\frac{\sqrt3}{4}(1+2\frac{h}{h_0}-2\frac{h^2}{h_0^2})．
従って，水面の高さがhcmのときの水の量(cm^3)，すなわち水を注入した時間t(秒)はt=\frac{\sqrt3}{4}\int_0^h(1+\frac{2x}{h_0}-2\frac{x^2}{h_0^2})dx =\frac{\sqrt3}{4}[x+\frac{x^2}{h_0}-\frac{2x^3}{3h_0^2}]_0^h =\frac{\sqrt3h}4+\frac{3\sqrt2h^2}8-\frac{\sqrt3h^3}{4}．
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最終更新：2013年10月03日 22:08