整数を係数とする3次の多項式f(x)が次の条件(*)を満たしている．
(*)任意の自然数nに対し，f(n)はn(n+1)(n+2)で割り切れる．
このとき，ある整数aがあって，f(x)=ax(x+1)(x+2)となることを示せ．
f(x)=ax(x+1)(x+2)+bx^2+cx+d (a,b,c,d定数)と書ける．
が整数である．
とおく．
より，
m,n>2(|b|+|c|+|d|)のとき|g(m)-g(n)|<1でg(m)-g(n)は整数であるからg(m)=g(n)である．
となるが，これが4個以上の相異なるnについて成立するのでこれはnについての恒等式である．
従ってg(m)=0であるが，これも3個以上の相異なるmについて成立するのでg(m)は恒等的に0．
ゆえに，f(x)=ax(x+1)(x+2)と書けるが，
が整数なのでaは整数．
最終更新：2013年10月03日 23:10
