大学入試数学過去問
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k91ks3

空間に原点を始点とする長さ1のベクトル\vec{a},\vec{b},\vec{c}がある．\vec{a},\vec{b}のなす角をγ，\vec{b},\vec{c}のなす角をα，\vec{c},\vec{a}のなす角をβとするとき，次の関係の成立することを示せ．またここで等号の成立するのはどのような場合か．
0\leq\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma-2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma\leq1
(与式中辺)
=(\cos\gamma-\cos\alpha\cos\beta)^2-\cos^2\alpha\cos^2\beta+\cos^2\alpha+\cos^2\beta
=(\cos\gamma-\cos\alpha\cos\beta)^2-(1-\cos^2\alpha)(1-\cos^2\beta)+1
=(\cos\gamma-\cos\alpha\cos\beta)^2-\sin^2\alpha\sin^2\beta+1
\geq0-1+1=0
等号成立は\cos\gamma-\cos\alpha\cos\betaかつ\sin^2\alpha=\sin^2\beta=1すなわち\cos\alpha=\cos\beta=\cos\gamma=0のとき．
つまり\vec{a},\vec{b},\vec{c}が全て互いに直交するとき．


\vec{a}=\vec{OA},\vec{b}=\vec{OB},\vec{c}=\vec{OC}となるよう，点A,B,Cをとる．
A,Bとβを固定すると，CはOA上に中心のある円の周上を動く．
γが最大か最小となるのはBC(=2\sin\frac{\gamma}2)が最大か最小となるときであり，これはCが平面OAB上にあるときに成立する．このとき，cosγ=cos(α±β)となる．
これより，cos(α+β)≦cosγ≦cos(α-β)．
従って(\cos\gamma-\cos\alpha\cos\beta)^2\leq\sin^2\alpha\sin^2\betaであるから，(与式中辺)≦1．
等号成立はOABCが同一平面上にあるとき．つまり\vec{a},\vec{b},\vec{c}が従属なとき．
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最終更新：2013年10月04日 02:16