k91ks4

平面上で次の方程式①を満たす点全体の集合を $C_1$ ，②を満たす点全体の集合を $C_2$ とする．
① $x^2+y^2-1=0$ ② $10x^2+14xy+5y^2=1$
(1)a,b,c,dは負でない整数でad-bc>0を満たしている．さらに $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ の定める一次変換fが $C_2$ を $C_1$ に写している，すなわち $f(C_2)=C_1$ である．このときa,b,c,dを求めよ．
(2) $C_2$ 上の点でx座標，y座標とも整数であるものは何個あるか．

(1)
$C_2$ 上の点(x,y)の変換先の座標は(ax+by,cx+dy)である．
$C_2$ 上の点 $(\frac1{\sqrt{10}},0),(0,\frac1{\sqrt5})$ の変換先である $(\frac{a}{\sqrt{10}},\frac{c}{\sqrt{10}}),(\frac{b}{\sqrt5},\frac{d}{\sqrt5})$ が $C_1$ がC上にあることから $a^2+c^2=10$ ， $b^2+d^2=5$ ．
a,b,c,dは負でない整数であるから，(a,c)=(1,3)(3,1)，(b,d)=(1,2)(2,1)．ad-bc>0よりa=3,c=1．
(3x+by,x+dy)が $C_1$ 上にあるから $0=10x^2+2(3b+d)xy+5y^2-1=(2(3b+dd)-14)xy$ となる．
$C_2$ 上にはxy≠0となる点(x,y)が含まれるので，b+3d=7．従ってb=2,d=1.
(2)
$C_2$ 上の点(x,y) (x,yは整数)を考える．この点の変換先の座標は(3x+y,x+2d)であるから，これも格子点となる(*)．
ここで， $B=\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\end{pmatrix}$ を考えるとAB=E (E:単位行列)．
これよりBの定める一次変換gはfの逆変換となり，gは $C_1$ 上の格子点を $C_2$ 上の格子点に移す．
fは逆変換を持つので点P,Qに対しf(P)=f(Q)ならばP=Q．従って(*)より $C_2$ 上の格子点の数≦ $C_1$ 上の格子点の数．
同様にgについて考えると $C_1$ 上の格子点の数≦ $C_2$ 上の格子点の数となり，
$C_1$ 上の格子点は(0,±1)(±1,0)の4個なので $C_2$ 上の格子点も4個．

「k91ks4」をウィキ内検索

最終更新：2013年10月04日 02:58

大学入試数学過去問

メニュー

リンク

他のサービス

更新履歴

k91ks4