大学入試数学過去問
大学入試数学過去問

k91ks5

1からnまでの相異なるn個の自然数(n≧4)の中から無作為に2個を取り出し，大きい方をX_1，小さい方をY_1とする．つぎに残りの(n-2)個の自然数の中から無作為に2個を取り出し，大きい方をX_2，小さい方をY_2とする．
(1)X_1+Y_1の期待値を求めよ．
(2)X_1の期待値を求めよ．
(3)Y_2の期待値を求めよ．
(1)
最初に取り出した2個の自然数がk,lである確率をp_{k,l}とおく．
求める期待値EはE=\sum_{k,l}(k+l)p_{k,l}であるが，
ここで最初に取り出す2自然数がk,lである確率とn+1-k,n+1-lである確率は等しいので，
E=\sum_{k,l}\{(n+1-k)+(n+1-l)\}p_{k,l}でもあり，両辺足して2で割るとE=(n+1)\sum_{k,l}p_{k,l}=n+1．
(2)
X_1=kである確率をp_kとおく．X_1の期待値は\sum_kkp_kである．
さて，X_1=kのとき，X_2は1からk-1までの自然数値をとり，その確率はいずれも等しいので期待値は\frac{k}2．
従って，X_2の期待値は\sum_k\frac k2p_kとなるが，(1)の結果より\sum_kkp_k+\sum_k\frac k2p_k=E=n+1．
従ってX_1の期待値は\sum_kkp_k=\frac23E=\frac{2(n+1)}3．
(3)
最初に取り出した2個の自然数がk,l，次に取り出した2個の自然数がi,jである確率と最初に取り出した2個の自然数がi,j，次に取り出した2個の自然数がk,lである確率は等しいので，Y_2の期待値はX_2の期待値に等しい．
(2)の結果よりX_2の期待値は\sum_k\frac k2p_k=\frac{n+1}3．
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最終更新：2013年10月04日 21:02