11s3

Lを正定数とする．座標平面のx軸上の正の部分にある点P(t,0)に対し，
原点Oを中心とし点Pを通る円周上を，Pから出発して反時計回りに道のりLだけ進んだ点をQ(u(t),v(t))と表す．
(1) u(t), v(t) を求めよ．
(2) 0<a<1の範囲の実数aに対し，積分
$f(a)=\int\nolimits_a^1\sqrt{\{u'(t)\}^2+\{v'(t)\}^2}dt$
を求めよ．
(3) 極限 $\lim_{a\to+0}\frac{f(a)}{\log a}$ を求めよ．

(1)
∠POQ $=\frac Lt$ なので
$u(t)=t\cos\frac Lt$ ， $v(t)=t\sin\frac Lt$ ．
(2)
$f(a)=\int\nolimits_a^1\sqrt{1+\frac{L^2}{t}}dt$
$\sqrt{t^2+L^2}=x$ と置換して
$f(a)=\int\nolimits_{\sqrt{a^2+L^2}}^{\sqrt{1+L^2}}\frac{x^2}{x^2-L^2}dx$
$=\left[1+\frac L2\log\frac{|x-L|}{|x+L|}\right]_{\sqrt{a^2+L^2}}^{\sqrt{1+L^2}}$

$=\sqrt{1+L^2}-\sqrt{a^2+L^2}+L\log\frac{1}{\sqrt{1+L^2}+L}-L\log\frac{a}{\sqrt{a^2+L^2}+L}$
(3)
f(a)の表式より $\lim_{a\to+0}\frac{f(a)}{\log a}=-L$

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最終更新：2011年10月20日 22:26

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