k91ks6

(1)任意の定数aに対して $e^x\geq e^a+(x-a)e^a$ が成り立つことを示せ．
(2) $\int_0^1e^{\sin\pi x}dx\geq e^{\frac2\pi}$ を示せ．

(1)
$f(x)=e^x- e^a-(x-a)e^a$ とおくと，
$f&#039;(x)=e^x-e^a$ よりx<aでf'(x)<0，f'(a)=0，x>aでf'(a)>0なのでf(x)≧f(a)=0より示された．
(2)
$\int_0^1(e^{\sin\pi x}- e^{\frac2\pi})dx\geq 0$ を示せば良い．
(1)の結果のx,aに $\sin\pi x$ , $\frac2\pi$ を代入したものより， $e^{\sin\pi x}- e^{\frac2\pi}\geq(\sin\pi x-\frac2\pi)e^{\frac2\pi}$ であるから，
$\int_0^1(e^{\sin\pi x}- e^{\frac2\pi})dx\geq\int_0^1(\sin\pi x-\frac2\pi)e^{\frac2\pi}dx=e^{\frac2\pi}[-\frac1\pi\cos\pi x-\frac{2x}\pi]_0^1=0$ ．
よって示された．

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最終更新：2013年10月04日 21:30

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