大学入試数学過去問
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k92s1

空間内の6つの点A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(-1,0,0)，D(0,-1,0)，E(0,0,1)，F(0,0,-1)を頂点とする正八面体を，平面\frac xa+\frac yb+\frac zc=0で切るとき，切り口の多角形の頂点を座標を求めよ．ただし，a,b,cは正の定数とする．
この平面(αとおく)の法線ベクトル\vec{n}は(\frac1a,\frac1b,\frac1c)であるから，
P=A,B,Eのとき\vec{n}\cdot\vec{OP}>0，P=C,D,Fのとき\vec{n}\cdot\vec{OP}<0．
これより，A,B,Eはαに対し同じ側にあり，C,D,Fはそれらと反対側にある．
従って，切り口の多角形の頂点はAD,AF,BC,BF,EC,EDとαの交点である．
ADの式はx-y=1,z=0であるから，αの式と連立させて解くと交点の座標は(\frac{b}{a+b},-\frac{a}{a+b},0)．
同様に，他の辺とαの交点も求まり，答えは
(\pm\frac{b}{a+b},\mp\frac{a}{a+b},0),(0,\pm\frac{c}{b+c},\mp\frac{b}{b+c}),(\mp\frac{c}{c+a},0,\pm\frac{a}{c+a})(複号同順)．
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最終更新：2013年10月06日 05:37