大学入試数学過去問
大学入試数学過去問

k92s2

θは0<\theta<\frac\pi2の範囲の角とする．
(1) sin3θ=sin2θを満たすθを求めよ．
(2) m,nを0以上の整数とする．θについての方程式\sin3\theta=m\sin2\theta+n\sin\thetaが解を持つときの(m,n)と，そのときのθの値を求めよ．
(1)
0<2\theta<3\theta<\frac{3\pi}2であるから，sin3θ=sin2θのとき3θ=π-2θ．つまり\theta=\frac\pi5．
(2)
\sin3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta，\sin2\theta=2\sin\theta\cos\thetaを代入して\sin\theta(>0)で割ると
3-4\sin^2\theta=2m\cos\theta+n
つまり4\cos^2\theta-2m\cos\theta-n-1=0．
この左辺をf(cosθ)とおく．f(x)は下に凸であり，f(0)=-n-1<0なのでf(x)=0が0<x<1で解を持つことはf(1)>0であることと同値．
f(1)=3-2m-nであるから，(m,n)=(1,0),(0,0),(0,1),(0,2)のときに解を持つ．
(i)(m,n)=(1,0)のとき
(1)より\theta=\frac\pi5．
(ii)(m,n)=(0,0)のとき
sin3θ=0より\theta=\frac\pi3．
(iii)(m,n)=(0,1)のとき
f(\cos\theta)=4\cos^2\theta-2なので\cos\theta=\frac{\sqrt2}2つまり\theta=\frac\pi4．
(iv)(m,n)=(0,2)のとき
f(\cos\theta)=4\cos^2\theta-3なので\cos\theta=\frac{\sqrt3}2つまり\theta=\frac\pi6．
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最終更新：2013年10月06日 06:01