大学入試数学過去問
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k92s3

△ABCの外心Oから直線BC,CA,ABに下ろした垂線の足をそれぞれP,Q,Rとするとき，\vec{OP}+2\vec{OQ}+3\vec{OR}=\vec{0}が成立しているとする．
(1)\vec{OA},\vec{OB},\vec{OC}の関係式を求めよ．
(2)∠Aの大きさを求めよ．
(1)
OはBCの垂直二等分線上にあるので，PはBCの中点．従って\vec{OP}=\frac12(\vec{OB}+\vec{OC})．
同様に\vec{OQ}=\frac12(\vec{OC}+\vec{OA})，\vec{OR}=\frac12(\vec{OA}+\vec{OB})であるから，
\vec{OP}+2\vec{OQ}+3\vec{OR}=\vec{0}に代入して2で割ると5\vec{OA}+4\vec{OB}+3\vec{OC}=\vec0．
(2)
OB=OB=OC=1としてよい．
5\vec{OA}+4\vec{OB}=-3\vec{OC}の両辺平方して41+40\vec{OA}\cdot\vec{OB}=9より\vec{OA}\cdot\vec{OB}=-\frac45．
|\vec{AB}|^2=|\vec{OB}-\vec{OA}|^2=2-2\vec{OA}\cdot\vec{OB}=\frac{18}5．
5\vec{OA}+3\vec{OC}=-4\vec{OB}の両辺平方して34+30\vec{OA}\cdot\vec{OB}=16より\vec{OA}\cdot\vec{OC}=-\frac35．
|\vec{AC}|^2=|\vec{OC}-\vec{OA}|^2=2-2\vec{OA}\cdot\vec{OC}=\frac{16}5．
(1)の結果に12\vec{AO}を足して4\vec{AB}+3\vec{AC}=12\vec{AO}であり，両辺平方すると16|\vec{AB}|^2+9|\vec{AC}|^2+24\vec{AB}\cdot\vec{AC}=144．
これより，\vec{AB}\cdot\vec{AC}=\frac{12}5．
従ってcos∠A=\frac{\vec{AB}\cdot\vec{AC}}{|\vec{AB}||\vec{AC}|}=\frac1{\sqrt2}なので∠A=\frac\pi4．
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最終更新：2013年10月06日 07:51