大学入試数学過去問
大学入試数学過去問

k92s5

平面内でzx平面上の放物線z=1-x^2をz軸のまわりに回転して得られる曲面に4点(t,0,1-t^2),(-t,0,1-t^2),(0,t,1-t^2),(0,-t,1-t^2)(ただし0<t<1)で，それぞれ接する4つの平面を考える．
(1)この4つの接平面とxy平面で囲まれる立体の体積V(t)を求めよ．
(2)V(t)の最小値と，そのときのtの値を求めよ．
(1)
(t,0,1-t^2)における接平面の式は，z=-2t(x-t)+(1-t^2)つまりz=-2tx+1+t^2．
この平面とxy平面の交線はx=\frac{1+t^2}{2t}．
同様に考えて，他の接平面とxy平面の交線により囲まれる図形は一辺\frac{1+t^2}{t}の正方形．
また，どの接平面も点(0,0,1+t^2)を通るので，接平面どうしの交線はこの一点で交わる．
従って求める図形は正四角錐となり，高さは1+t^2．
これより求める体積はV(t)=\frac{(1+t^2)^3}{3t^2}．
(2)
相加平均と相乗平均の関係より，
V(t)=\frac13(\frac{1+t^2}{t^{\frac23}})^3=\frac13(\frac{t^{-\frac23}}2+\frac{t^{-\frac23}}2+t^{\frac43})^3\geq\frac{3^3}3(\frac{t^{-\frac23}}2\cdot\frac{t^{-\frac23}}2\cdot t^{\frac43})=\frac94.
\frac{t^{-\frac23}}2=t^{\frac43}つまりt=\frac1{\sqrt2}のときに等号が成立するのでこのときV(t)は最小値\frac94をとる．
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最終更新：2014年01月24日 13:51