大学入試数学過去問
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k92ks1

0でないxの整式f(x)に対し，F(x)=\int_0^xf(t)dt,G(x)=\int_x^1f(t)dtとおく．ある定数p,qが存在して，F(G(x))=-\{F(x)\}^2+pG(x)+qが成立しているとする．
(1)a=\int_0^1f(t)dtとおくとき，F(x)をaを用いて表せ．
(2)さらに0≦x≦1でのF(x)の最大値が\frac12であるとき，f(x)を求めよ．
(1)
F(x)=a-G(x)を代入してF(G(x))=-\{G(x)\}^2+(p+2a)G(x)+q-a^2．
ここで，f(x)≠0より，G(x)は相異なる無数の値をとりうる．
特に，F(x)がn次式だとすると，G(x_i)が相異なるようなx_i(i=0,1,…,n)が存在するから，
F(x)=-x^2+(p+2a)x+q-a^2となる．
(2)
f(x)=\frac{dF(x)}{dx}=-2x+p+2a．q-a^2=F(0)=0．
(i)\frac{p+2a}2<0のとき
0≦x≦1でf(x)<0よりF(x)はx=0で最大となるがF(0)=0より不適．
(ii)0\leq\frac{p+2a}2\leq1のとき
f'(x)=-2<0であり，f(\frac{p+2a}2)=0よりF(x)の最大値はF(\frac{p+2a}2)=\frac{(p+2a)^2}4．
これが\frac12に等しいのでp+2a=\pm\sqrt2．0\leq\frac{p+2a}2\leq1よりp+2a=\sqrt2．このときf(x)=-2x+\sqrt2．
(iii)1&lt;\frac{p+2a}2のとき
0≦x≦1でf(x)>0よりF(x)はx=1で最大となるが，F(1)=p+2a-1が\frac12と等しいのでp+2a=\frac32．
このとき\frac{p+2a}2=\frac34&lt;1より不適．
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最終更新：2013年10月08日 16:46