k92ks2 - 大学入試数学過去問

一辺の長さnの立方体ABCD-PQRSがある．ただし，2つの正方形ABCD,PQRSは立方体の向かい合った面でAP,BQ,CR,DSは，それぞれ，立法体の面である．
立方体の各面は一辺の長さ1の正方形に碁盤目(ごばんめ)状に区切られているとする．そこで，頂点Aから頂点Rへ碁盤目上の辺をたどっていくときの最短経路を考える．
(1)辺BC上の点を通過する最短経路は全部で何通りあるか．
(2)頂点Aから頂点Rへの最短経路は全部で何通りあるか．

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(1)
辺BC上の点Eを通るとする．
AEの最短経路は正方形ABCD上にあり，ERの最短経路は正方形BQRC上にあることより，ARの最短経路はこの二面上にある．
ABCDとBQRCがBCで繋がったこの立方体の展開図を考えると，求める数は縦2n横nの長方形の対頂点への最短経路の数なので，通り．
(2)
経路は折れ線BCDSPQB上の点を通るが，辺CD,DS,SP,PQ,QB上の点を通過する最短経路も(1)と同様に考えられる．
これらの経路の重複は頂点B,C,D,S,P,Qのいずれかを通過する経路のみであり，その数はそれぞれ通り．
更に，これらの頂点を通過する経路の重複は頂点BとC，頂点CとD，頂点DとS，頂点SとP，頂点PとQ，頂点QとBを通る最短経路のみであり，それぞれ1通り．
これらより，求める場合の数は通り．