大学入試数学過去問
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k92ks3

放物線y=x^2上の点P(t,t^2)(ただしt>0)でこの曲線に接し，かつy軸にも接する円をC_1,C_2とし，それぞれの半径をr,R(r<r)とする．
(1)tが正の実数全体を動くとき，\frac Rrのとり得る値の範囲を求めよ．
(2)\frac Rr=2となる点P(t,t^2)を求めよ．
(1)
C_1,C_2の中心をそれぞれA,Bとおく．
AP,BPは点Pにおける放物線の接線に垂直なので，これらの傾きは-\frac1{2t}．
A,P,Bは一直線上にあるのでAB=AP+BP=r+R．
また，AとBのx座標の差はR-rであり，ABの傾きが-\frac1{2t}なのでAB=(R-r)\sqrt{1+\frac1{(2t)^2}}．
これらを連立させて\frac Rr=(\sqrt{(2t)^2+1}+2t)^2であるから，t>0で\frac Rr&gt;1．
(2)
\frac Rr=2より\sqrt2-2t=\sqrt{(2t)^2+1}．平方して整理するとt=\frac1{4\sqrt2}．
よってPは\frac1{4\sqrt2},\frac1{32}．
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最終更新：2013年10月08日 20:00