大学入試数学過去問
大学入試数学過去問

11s4

座標平面上の1点P\left(\frac12, \frac14\right)をとる．放物線y=x^2上の2点Q(\alpha,\alpha^2)，R(\beta,\beta^2)を，3点P,Q,RがQRを底辺とする二等辺三角形をなすように動かすとき，△PQRの重心G(X,Y)の軌跡を求めよ．
QRの中点をMとおくとPM=\frac32PGよりM\left(\frac32X-\frac14, \frac32Y-\frac18\right)，
QR⊥PGよりQRの傾きは-\frac{X-\frac12}{Y-\frac14}．
QRの式をy=f(x)とおく．
y=x^{2}-f(x)の軸はMを通るので
-\frac{1}{2}\frac{X-\frac12}{Y-\frac14}=\frac32X-\frac14．
これより\left(X-\frac16\right)\left(Y+\frac1{12}\right)=\frac19．
Q,Rが存在する条件はy=x^{2}-f(x)がx軸と相異なる二点で交わる，つまり頂点のy座標が負であることなので，
\left(\frac32X-\frac14\right)^{2}<\frac32Y-\frac18=\frac1{6X-1}-\frac14.
つまり0>\frac{(6X-1)^3+4(6X-1)-16}{6X-1}=\frac{3(2X-1)(36X^2+7)}{6X-1}であるから
\left(X-\frac16\right)\left(Y+\frac1{12}\right)=\frac19の\frac16<X<\frac12の部分が求める軌跡である．


(図は省略)
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最終更新：2011年10月22日 11:23