大学入試数学過去問
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k92ks4

平面ベクトル\vec{p},\vec{q}の内積を\vec{p}\cdot\vec{q}と表す．fは平面上の1次変換とする．
(1)\vec{p},\vec qが互いに直交する単位ベクトルとすると，T=f(\vec{p})\cdot\vec{p}+f(\vec q)\cdot\vec qはベクトルの組\vec p,\vec qのとり方によらないで，fによってきまる値であることを示せ．
(2) 原点Oを通る2つの定直線l,mがあって，fによってl上の任意の点RはR自身に移され，m上の任意の点SはOSの中点S'に移されるとする．このときfに対するTの値を求めよ．
(1)
単位ベクトル\vec{r}=k\vec p+l\vec qをとる．k^2+l^2=0であり，
これに直交する単位ベクトルは\vec s=\pm l\vec p\mp k\vec q(複号同順)である．
ここで，
f(\vec{r})\cdot\vec r+f(\vec s)\cdot\vec s =(kf(\vec p)+lf(\vec q))\cdot(k\vec p+l\vec q)+(\pm lf(\vec p)\mp kf(\vec q))\cdot(\pm l\vec p\mp k\vec q) =f(\vec{p})\cdot\vec{p}+f(\vec q)\cdot\vec q
となるので，Tはベクトルの取り方によらない．
(2)
lと平行に単位ベクトルの一つ\vec pをとり，それに直交する単位ベクトルの一つを\vec qとする．
mと平行な単位ベクトルの一つを\vec r =k\vec p+l\vec qとおくと，
条件よりf(\vec p)=\vec p，kf(\vec p)+lf(\vec q)=f(\vec r)=\frac12\vec r=\frac k2\vec p+\frac l2\vec q．
これより，f(\vec q)=-\frac k{2l}\vec p+\frac12\vec qなので，T=1+\frac12=\frac32．
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最終更新：2013年10月08日 22:30