大学入試数学過去問
大学入試数学過去問

k92ks6

a=\frac{1+\sqrt5}2とし，空間内の原点Oと4つの点
A(1,1,1), B(-a^{-1},a,0), C(-a,0,a^{-1}), D(0,-a^{-1},a)
について，次の問に答えよ．
(1)4点A,B,C,Dは正方形の頂点であることを示せ．
(2)四角錐O-ABCDを平面x=0によって2つの部分W_1,W_2にわけたとき，W_1,W_2の体積の比を求めよ．
(1)
a^{-1}=\frac{-1+\sqrt5}2=a-1．
\vec{AB}=(-a,a-1,-1)，\vec{DC}=(-a,a-1,-1)より四角形ABCDは平行四辺形．
さらに，\vec{AD}=(-1,-a,a-1)より\vec{AB}\cdot\vec{AD}=0であるから，AB⊥AD．
これより四角形ABCDは正方形となるので示された．
(2)
頂点Aを含む方をW_1とする．
Oはx=0上にあるので，分けられた部分はいずれも高さの等しい角錐となる．
従って，求める体積比は底面ABCDをx=0で分けた面積の比に等しい．
x=0とABCDの周とのDでない方の交点をPとおくと，PはAB上にあり，
\vec{OP}=\frac1{1+a}(\vec{OA}+a\vec{OB})となる．
これより
(△ADPの面積)=\frac{a}{1+a}(△ABDの面積)=\frac{a}{2(1+a)}(四角形ABCDの面積)
となる．四角形PBCDの面積は四角形ABCDの面積の1-\frac{a}{2(1+a)}倍なので，
面積比はa:a+2=1:\sqrt5．よってW_1:W_2=1:\sqrt5．
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最終更新：2013年10月10日 01:03