大学入試数学過去問
大学入試数学過去問

k93s1

p>0とする．双曲線x^2-y^2=1に点P(0,p)から2本の接線を引いて，それぞれの接点をA,Bとするとき，△PABの面積を最小にするようなpの値を求めよ．
双曲線の式をxで微分すると2x-2yy'=0より，接点の座標を(a,b)とすると傾きは\frac abであるから，接線の方程式はax-by=1．
他方の接点の座標は(-a,b)であるから，△PABの面積はS=|a||p-b|である．
Pはax-by=1上にあるので，b=-\frac1p，A,Bはx^2-y^2=1上にあるので|a|=\sqrt{b^2+1}=\sqrt{\frac1{p^2}+1}．
S=\sqrt{\frac1{p^2}+1}(p+\frac1p)=(p^{\frac23}+p^{-\frac43})^{\frac32}であり，
q=p^{\frac23}とおくと，相加平均と相乗平均の関係よりS^{\frac23}=q+q^{-2}=\frac q2+\frac q2+q^{-2}\leq 3\cdot2^{\frac23}であり，等号成立は\frac q2=q^{-2}つまりq^3=\frac12のときで，このときp=\frac1{\sqrt2}．
「k93s1」をウィキ内検索
最終更新：2013年10月10日 22:57