大学入試数学過去問
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k93s2

点Oを中心とする半径1の円Cに含まれる2つの円C_1,C_2を考える．ただしC_1,C_2の中心はCの直径AB上にあり，C_1は点Aで，C_2は点BでそれぞれCと接している．また，C_1,C_2の半径をそれぞれa,bとする．C上の点PからC_1,C_2に1本ずつ接線を引き，それらの接点をQ,Rとする．
(1)∠POA=θとするとき，PQはθによってどのように表せるか．
(2)PをC上で動かしたときのPQ+PRの最大値を求めよ．
(1)
C_1の中心をSとおくと，∠POS=∠POA=θであり，PO=1，OS=1-aなので，
余弦定理よりPS^2=PO^2+OS^2-2PO\cdot OS\cos\theta=a^2-2a+2-2(1-a)\cos\theta．
また，∠PQS=\frac\pi2なのでPQ^2=PS^2-QS^2=2(1-a)(1-\cos\theta)=4(1-a)\sin^2\frac\theta2であり，
0\leq\frac\theta2\leq\frac\pi2より0\leq\sin\frac\theta2だからPQ=2\sqrt{1-a}\sin\frac\theta2．
(2)
∠POB=π-∠POAなので，(1)と同様にPR=2\sqrt{1-b}\cos\frac\theta2となる．
ここで，\cos\phi=\sqrt{\frac{1-a}{2-a-b}},\sin\phi=\sqrt{\frac{1-b}{2-a-b}}となるようなφ(0\leq\phi\leq\frac\pi2)が存在する．
そのようなφを用いるとPQ+PR=2\sqrt{2-a-b}\sin(\frac\theta2+\phi)と表せる．
\phiの範囲より0\leq\pi-2\phi\leq\piより\theta=\pi-2\phiとなる場合があり，このときPQ+PRは最大値2\sqrt{2-a-b}をとる．
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最終更新：2014年01月24日 12:50