f(x)はxの整式，cは定数とする．等式
がすべてのxで成り立つならば，f(x)は定数であることを示せ．
f(x)が定数でないと仮定して矛盾を導く．
x→∞でf(x)→∞としてよい(これが成立しない場合は-f(x)をあらためてf(x)と置き直せばよい)．
(i)x→-∞でf(x)→-∞のとき
中間値の定理よりf(x)=0となるxが存在し，それは有限個であるからその最大のものをmとおく．
このとき，m<t<m+1においてf(t)は常に0より大きい．
従って
より矛盾
(ii)x→-∞でf(x)→∞のとき
ある定数a,bが存在し，x<aのときf'(x)<0，x>bのときf'(x)>0となる．
このとき，f(x)=max{f(a-1),f(b)}となるxがx≦a-1とb≦xの範囲にそれぞれ存在する．
それらをそれぞれp,qとおくと，p<x<p+1のときf(x)<f(p)，q<x<q+1のときf(x)>f(q)なので
f(p)=f(q)より矛盾．
(i)(ii)より示された．
最終更新：2014年01月24日 13:06
