k93s4

自然数nに対して，
$a_n=\int_0^1(1+x)^{-n-1}e^{x^2}dx$ ， $b_n=\int_0^1(1+x)^{-n}xe^{x^2}dx$
とおく．
(1) $b_n\leq e\cdot\int_0^1(1+x)^{-n}dx$ が成り立つことを示し， $\lim_{n\to\infty}b_n$ を求めよ．
(2) $\lim_{n\to\infty}na_n$ を求めよ．

(1)
0≦x≦1で $xe^{x^2}\leq e$ であるから， $b_n\leq e\cdot\int_0^1(1+x)^{-n}dx$ ．
$\int_0^1(1+x)^{-n}dx=-\frac1{n+1}\int_0^1(1+x)^{-n-1}dx\leq \frac1{n+1} \to0$ ( $n\to\infty$ )であり，
0≦x≦1で $(1+x)^{-n}xe^{x^2}\geq 0$ であるから， $b_n\geq0$ ．
はさみうちの原理より $\lim_{n\to\infty}b_n=0$ ．
(2)
$b_n=[\frac{(1+x)^{-n}}2e^{x^2}]_0^1-\int_0^1\frac{-n(1+x)^{-n-1}}2e^{x^2}dx=\frac{e}{2^{n+1}}-\frac12+\frac n2a_n$
これより， $\lim_{n\to\infty}na_n=\lim_{n\to\infty}(2b_n-\frac{e}{2^n}+1)=1$ ．

「k93s4」をウィキ内検索

最終更新：2013年10月11日 05:09

大学入試数学過去問

メニュー

リンク

他のサービス

更新履歴

k93s4