大学入試数学過去問
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k93s5

nを自然数とする．サイコロを2n回投げてn回以上偶数の目がでる確率をp_nとするとき，p_n\geq\frac12+\frac1{4n}であることを示せ．
n回以上奇数の目がでる確率もp_nであるから，2n回投げて偶数の目がちょうどn回でる確率は2p_n-1である．
2n回投げて偶数の目がちょうどn回でる確率は
\frac1{2^{2n}}{2n\choose n} =\frac{2n(2n-1)(2n-2)\cdots2\cdot1}{(2n(2n-2)(2n-4)\cdots4\cdot2)^2} =\frac1{2n}\cdot\frac{2n(2n-1)}{2n(2n-2)}\cdot\frac{(2n-2)(2n-3)}{(2n-2)(2n-4)}\cdot\cdot\cdot\frac{4\cdot3}{4\cdot2}\cdot\frac{2\cdot1}2 \geq\frac1{2n}．
従って，2p_n-1\geq\frac1{2n}であるからp_n\geq\frac12+\frac1{4n}．
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最終更新：2013年10月11日 05:20