k93s6 - 大学入試数学過去問

f,gをそれぞれ行列,の表す1次変換とする．以下では一般に1次変換a,bの合成を簡単にbaと記す．また，aaを，aaaをと書く．
(1)を示せ．ただし，iは恒等変換，すなわち任意の点をそれ自身に移す変換である．
(2)変換f,gf,fgf,gfgf,fgfgfは，変換g,fg,gfg,fgfg,gfgfgをある順序に並べ替えたものである．後者の5つの変換はそれぞれ前者の5つのどれと等しいか．
(3)3点,,を頂点とする三角形をΔとする．Δをf,gで繰り返し変換して得られるすべての三角形の和集合を図示せよ．

---

(1)
所与の行列をそれぞれA,Bとする． (E:単位行列)を示せばよく，
ケイリーハミルトンの定理より，である(O:零行列)．
また，であるからケイリーハミルトンの定理より．
これに左からBA-Eを掛けて．
以上よりであるから示された．
(2)
g=ggfgfgf=fgfgf．
これにfを作用させてfg=ffgfgf=gfgf,
これにgを作用させてgfg=ggfgf=fgf,
これにfを作用させてfgfg=ffgf=gf,
これにgを作用させてgfgfg=ggf=f.
(3)
Δをf,gで繰り返し変換して得られる三角形は，より，Δにfとgを交互に作用させたものとして表せる．
ここで，(2)よりg=fgfgfであることから，すべてのこのような三角形はまず最初にΔをfで変換したものとして表せる．
従って，f,gf,fgf,gfgf,fgfgf,gfgfgf,fgfgfgf,…で変換したものであるが，よりfgfgfgf=fなのでこれ以降は新しい三角形は得られない．
つまり，求める和集合はΔをf,gf,fgf,gfgf,fgfgf,gfgfgfで変換して得られる三角形の和集合．
この変換により，は不変，
は,,,,,，
は,,,,,，
に移るので，求める和集合は以下のとおり．
(図省略．|x|≦1かつ|y|≦1かつ|x+y|≦1の領域．)