が次の3条件を満たしているとする．
(1)
(2)曲線y=f(x)のx=0における接線の傾きは負である．
(3)2点(0,f(0))と(1,f(1))を通る直線をlとする．曲線y=f(x)と直線lで囲まれる図形のうち，0≦x≦1の部分の面積は
である．
このとき，a,b,cの値を求めよ．
(1)より，f(1)=0であるから1+a+b+c=0．
また，
なので3+2a+b=1．
(2)より0>f'(0)=b．
(3)より，直線lをy=g(x)とおき，h(x)=f(x)-g(x)とおく．h(x)は3次の係数が1の3次式でh(0)=h(1)=0よりh(x)=x(x-1)(x-k)とおける．
f(x)-g(x)の2次の係数はa，x(x-1)(x-k)の2次の係数は-k-1よりk=-a-1．
(1),(2)より3+2a>1なのでa>-1．これよりk<0であるから0<x<1でh(x)≠0．
従って
![\frac34=\int_0^1|h(x)|dx=|\int_0^1h(x)dx|=|[\frac{x^4}4+\frac{ax^3}3-\frac{(a+1)x}2]_0^1|=|\frac{a}6+\frac14|](http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,ffffff00&chco=000000ff&chs=25&chl=%5Cfrac34%3D%5Cint_0%5E1%7Ch%28x%29%7Cdx%3D%7C%5Cint_0%5E1h%28x%29dx%7C%3D%7C%5B%5Cfrac%7Bx%5E4%7D4%2B%5Cfrac%7Bax%5E3%7D3-%5Cfrac%7B%28a%2B1%29x%7D2%5D_0%5E1%7C%3D%7C%5Cfrac%7Ba%7D6%2B%5Cfrac14%7C)
．
これより
であるが，a>-1より複号は正．つまりa=3．
3+2a+b=1よりb=-8でこれは確かにb<0を満たし，1+a+b+c=0よりc=4．
従って(a,b,c)=(3,-8,4)．
最終更新：2013年10月12日 05:57
