p,qを2つの正の整数とする．整数a,b,cで条件
-q≦ b≦0≦ a≦ p，b≦ c≦ a
を満たすものを考え，このようなa,b,cを[a,b;c]の形に並べたものを(p,q)パターンと呼ぶ．各(p,q)パターン[a,b;c]に対して
w([a,b;c])=p-q-(a+b)
とおく．
(1) (p,q)パターンのうち，w([a,b;c])=-qとなるものの個数を求めよ．
また，w([a,b;c])=pとなる(p,q)パターンの個数を求めよ．
以下p=qの場合を考える．
(2) sを整数とする．(p,p)パターンでw([a,b;c])=-p+sとなるものの個数を求めよ．
(3) (p,p)パターンの総数を求めよ．
w([a,b;c])=xとなるものの個数をn(x)とおく．
(1)
w([a,b;c])=-qのときa=p, b=0なので，条件を満たすcの個数はa-b+1=p+1．よってp+1個．
同様にw([a,b;c])=pのときq+1個．
(2)
対称性よりn(-p+s)=n(p-s)．
t=|s-p|に対しw([a,b;c])=tとなるものを考えると,
t>pのときは0個，
t≦pのときは
(a,b)=(t+m,-m) (0≦m≦p-t)であり，このとき条件を満たすcの個数はa-b+1=t+1+2m．
であるから，
s<0,2p<sのとき 0個
0≦s≦2pのとき(p+1)(p-|s-p|+1)個
(3)
求める個数は
.
最終更新：2011年10月21日 11:45
