k93ks6

$a_1,a_2,b_1,b_2,c_1,c_2$ を実数とする．不等式 $\frac{a_1x+b_1}{x+c_1}>\frac{a_2x+b_2}{x+c_2}$ が $x\neq-c_1$ かつ $x\neq-c_2$ となるすべての実数xに対して成立するための必要十分条件を求めよ．

f(x)=左辺，g(x)=右辺とおく．
$f(x)=a_1+\frac{b_1-a_1c_1}{x+c_1}$ ， $g(x)=a_2+\frac{b_2-a_2c_2}{x+c_2}$ ．
[1] $c_1=c_2$ のとき
$f(x)-g(x)=a_1-a_2+\frac{(b_1-a_1c_1)-(b_2-a_2c_2)}{x+c_1}$ であるから，
f(x)-g(x)>が $x\neq c_1$ の全ての実数xに対して成立するには $b_1-a_1c_1=b_2-a_2c_2$ かつ $a_1&gt;a_2$ が必要十分．
[2] $c_1\neq c_2$ のとき
$|c_1-c_2|=2d$ とおくとd>0．
$-c_1-d&lt;x&lt;-c_1+d$ の範囲では $x\neq c_2$ よりg(x)は有限なので，m<g(x)なるmが存在する．この範囲でf(x)>mが必要．
$n>\frac1d$ を満たすnに対し， $x=-c_1\pm\frac1n$ はこの範囲に含まれるが， $f(-c_1\pm\frac1n)=a_1\pm n(b_1-a_1c_1)$ が常にmより大きくなるためには $b_1-a_1c_1=0$ が必要．
同様に $b_2-a_2c_2=0$ も必要．このとき， $f(x)=a_1$ ， $g(x)=a_2$ なのでさらに $a_1&gt;a_2$ ならば必要十分．
[1][2]を合わせて
$a_1&gt;a_2$ かつ $b_1-a_1c_1=b_2-a_2c_2$ かつ「 $c_1=c_2$ または $b_1-a_1c_1=0$ 」

「k93ks6」をウィキ内検索

最終更新：2013年10月12日 07:48

大学入試数学過去問

メニュー

リンク

他のサービス

更新履歴

k93ks6