大学入試数学過去問
大学入試数学過去問

k93ks3

原点Oを中心とする1つの円周上に相異なる4点A_0,B_0,C_0,D_0をとる．A_0,B_0,C_0,D_0の位置ベクトルをそれぞれ\vec{a},\vec{b},\vec c,\vec dと書く．
(1)\triangle B_0C_0D_0,\triangle C_0D_0A_0,\triangle D_0A_0B_0,\triangle A_0B_0C_0の重心をそれぞれA_1,B_1,C_1,D_1とする．このとき，この4点は同一円周上にあることを示し，その円の中心の位置ベクトル\vec{OP_1}を\vec a,\vec b,\vec c,\vec dで表せ．
(2) 4点A_1,B_1,C_1,D_1に対し上と同様にA_2,B_2,C_2,D_2を定め，A_2,B_2,C_2,D_2を通る円の中心をP_2とする．以下同様にP_3,P_4,\ldotsを定める．\vec{P_nP_{n+1}}を\vec a,\vec b,\vec c,\vec dで表せ．
(3) \lim_{n\to\infty}|P_nQ|=0を満たす点Qの位置ベクトルを\vec a,\vec b,\vec c,\vec dで表せ．ただし，|P_nQ|は線分P_nQの長さである．
(1)
OをP_0とする．
点R_{n+1}を\vec{P_nR_{n+1}}=\frac13(\vec{P_nA_n}+\vec{P_nB_n}+\vec{P_nC_n}+\vec{P_nD_n})とおく．
\vec{P_nA_{n+1}}=\frac13(\vec{P_nB_n}+\vec{P_nC_n}+\vec{P_nD_n})より\vec{R_{n+1}A_{n+1}}=\frac13\vec{P_nA_n}．
B_n,C_n,D_nについても同様なので，これより，A_n,B_n,C_n,D_nがP_nを中心とする円周上にあれば，
A_{n+1},B_{n+1},C_{n+1},D_{n+1}はR_{n+1}を中心とする円周上にある．
よって\vec{P_nP_{n+1}}=\vec{P_nR_{n+1}}=\frac13(\vec{P_nA_n}+\vec{P_nB_n}+\vec{P_nC_n}+\vec{P_nD_n})．
特にn=0のとき\vec{OP_1}=\frac13(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d})．
(2)
(1)より\vec{P_{n+1}A_{n+1}}=\frac13\vec{P_nA_n}，\vec{P_0A_0}=\vec aより\vec{P_nA_n}=\frac1{3^n}\vec{a}．
B_n,C_n,D_nも同様なので，\vec{P_nP_{n+1}}=\frac1{3^{n+1}}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d})．
(3)
\vec{OQ}=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=0}^N\vec{P_nP_{n+1}}=\frac12(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d})．
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最終更新：2013年10月12日 07:50