k93ks5 - 大学入試数学過去問

n≧3とする．1,2,…,nのうちから重複を許して6個の数字をえらびそれらを並べた順列を考える．このような順列のうちで，どの数字もそれ以外の5つの数字のどれかに等しくなっているようなものの個数を求めよ．

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同じ数字の個数で分類する．
(i)6個が全て同じ数字のとき
数字の選び方がn通りあり，並べ方は1通りなのでn個
(ii)4個が全て同じ数字で，残り2個が(4個とは異なる)同じ数字のとき
数字の選び方はn(n-1)通りあり，並べ方は通りなので15n(n-1)個．
(iii)3個が全て同じ数字で，残り3個が(前の3個とは異なる)同じ数字のとき
数字の選び方は通りあり，並べ方は通りなので10n(n-1)個．
(iv)3組の相異なる同じ数字の組となるとき
数字の選び方は通りあり，並べ方は通りなので15n(n-1)(n-2)個．

(i)-(iv)を足して個．