A,B,C,Eは2行2列の行列で

,

とする.
(1)AB=BAならばB=pA+qEとなる実数p,qが存在することを示せ.
(2)AB=BA,AC=CAが成り立つならば,BC=CBが成り立つことを示せ.
(3)AB=BA,

を満たす行列Bをすべて求めよ.
(1)

とおく.

であり,これが零行列に等しいのでc=2b,a-b=dとなるから,B=bA+dEとなるので示された.
(2)
(1)よりB=pA+qE,C=rA+sEとなる実数p,q,r,sが存在するので

.
(3)
(1)よりB=pA+qEとおける.

であり,ケーリーハミルトンの定理より

だから

.
これより

なので(p,q)=(0,±1),

.
つまり,求めるBはB=±E,

.
最終更新:2014年01月24日 09:19