k94s1

A,B,C,Eは2行2列の行列でA=\begin{pmatrix}1&1\\2&0\end{pmatrix},E=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}とする.
(1)AB=BAならばB=pA+qEとなる実数p,qが存在することを示せ.
(2)AB=BA,AC=CAが成り立つならば,BC=CBが成り立つことを示せ.
(3)AB=BA,B^2=Eを満たす行列Bをすべて求めよ.

(1)
B=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}とおく.
AB-BA=\begin{pmatrix}-2b+c&-a+b+d\\2a-c-2d&2b-c\end{pmatrix}であり,これが零行列に等しいのでc=2b,a-b=dとなるから,B=bA+dEとなるので示された.
(2)
(1)よりB=pA+qE,C=rA+sEとなる実数p,q,r,sが存在するのでBC=prA^2+(ps+qr)A+qsE=CB
(3)
(1)よりB=pA+qEとおける.B^2=p^2A^2+2pqA+q^2Eであり,ケーリーハミルトンの定理よりA^2-A-2E=0だから
O=B^2-E=p^2(A+2E)+2pqA+(q^2-1)E=p(2q+p)A+(q^2+2p^2-1)E
これよりp(2q+p)=q^2+2p^2-1=0なので(p,q)=(0,±1),(\pm\frac23,\mp\frac13)
つまり,求めるBはB=±E,\pm\frac13(2A-E)
最終更新:2014年01月24日 09:19