大学入試数学過去問
大学入試数学過去問

k94s2

nは0または正の整数とする．\{a_n\}をa_0=1,a_1=2,a_{n+2}=a_{n+1}+a_nによって定める．a_nを3で割った余りをb_nとし，c_n=b_0+\cdots+b_nとおく．
(1)b_0,\ldots,b_9を求めよ．
(2)c_{n+8}=c_n+c_7であることを示せ．
(3)n+1\leq c_n\leq \frac32(n+1)が成り立つことを示せ．
(1)
b_0=1,b_1=2，b_{n+2}=\begin{case}b_{n+1}+b_n &(b_{n+1}+b_n<3)\\b_{n+1}+b_n-3 &(b_{n+1}+b_n\geq3)\end{case}．
よってb_2=0,b_3=2,b_4=2,b_5=1,b_6=0,b_7=1,b_8=1,b_9=2．
(2)
a_{n+4}=a_{n+3}+a_{n+2}=2a_{n+2}+a_{n+1}=3a_{n+1}+2a_nであるから，b_{n+4}=\begin{case}2b_n &(b_n<2)\\1 &(b_n=2)\end{case}．従ってb_{n+8}=b_n．
これより，c_{n+8}=c_7+\sum_{k=0}^nb_{n+8}=c_7+\sum_{k=0}^nb_n=c_n+c_7．
(3)
c_0=1,c_1=3,c_2=3,c_3=5,c_4=7,c_5=8,c_6=8,c_7=9なので0≦n≦7のときは成り立つ．
n=kにおいてこれが成り立つと仮定すると，
c_{k+8}=c_k+c_7\geq (k+1)+9>(k+8)+1，
c_{k+8}=c_k+c_7\leq \frac32(k+1)+9<\frac32((k+8)+1)
であるからn=k+8でも成り立つ．
よって数学的帰納法により全てのnについて成り立つ．
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最終更新：2013年10月12日 19:22