k94s3 - 大学入試数学過去問

正4面体の4つの頂点をA,B,C,Dとする．s,tを0<s<1，0<t<1を満たす実数とし，
線分ABをs:1-sに内分する点をE,
線分ACをt:1-tに内分する点をF,
線分ADをt:1-tに内分する点をG
とおく．3点E,F,Gを通る平面が，3点B,C,Dを通る円と共有点を持つためにs,tの満たすべき条件を求め，点(s,t)の範囲を平面上に図示せよ．

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CDの中点をM，AからBCDに下ろした垂線の足をHとする．
Hは△BCDの重心なので．
A,B,M,Hは同じ平面上にあり，この平面αと3点B,C,Dを通る円の交点をPとおくとより．
FGとαの交点をQとおく．FG⊥αなので3点E,F,Gを通る平面はαに垂直．従ってこの平面をαに射影すると直線EQとなる．
また，CD⊥αなので3点B,C,Dを通る平面はαに垂直．従って3点B,C,Dを通る円をαに射影すると線分BPとなる．
したがって，求める条件は直線EQと線分BPが共有点を持つことと同値である．
これは，PQとAMの交点をRとしたとき，Qが線分RM上にあることと同値．つまり，AR=uAMとおいたときu≦t．
ここで，メネラウスの定理より
であり，
u≦t⇔なので
が満たすべき条件．
これよりつまり．
(図省略．0<s<1，0<t<1のうち，とを漸近線とする双曲線((0,0),(1,1)を通る)の上側．)