大学入試数学過去問
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k94s4

xy平面上で，3点A(-1,0),B(1,0),P(t,2t^2+1)を考え，∠APBの2等分線とx軸との交点をQとする．tが全ての実数値を動くとき，\frac{QB}{AQ}の最大値，最小値を求めよ．
あるtにおける\frac{QB}{AQ}の値の平方をf(t)とおく．
まずf(t)の最小値を求める．
QB:AQ=PB:APより\frac{QB}{AQ}=\frac{PB}{AP}であるからt<0でf(t)>1，f(0)=1，0<tでf(t)<1なので0<tの範囲で考えればよい．
f(t)=\frac{(t-1)^2+(2t^2+1)^2}{(t+1)^2+(2t^2+1)^2}=1-\frac{4t}{4t^4+5t^2+2t+2}．
g(t)=4t^3+5t+2+\frac2tとおくと，g(t)>0よりg(t)が最小のときにf(t)が最小となる．
g&#039;(t)=12t^2+5-\frac2{t^2}はtに関して単調増加であり，g&#039;(\frac12)=0であるから，
g(t)はt=\frac12のとき最小値9をとる．
これよりf(t)はt=\frac12のとき最小値\frac59をとる.つまり\frac{QB}{AQ}はt=\frac12のとき最小値\frac{\sqrt5}3をとる．
f(-t)=\frac1{f(t)}であるから，最大値は最小値の逆数，最大値を与えるtの値は最小値を与えるtの値の符号を変えたものであるから，最小値はt=-\frac12のとき\frac{3\sqrt5}5．
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最終更新：2014年01月24日 09:39