大学入試数学過去問
大学入試数学過去問

k94s5

A,B,Cの3人が色のついた札を1枚ずつ持っている．はじめに，A,B,Cの持っている札の色はそれぞれ赤，白，青である．Aがさいころを投げて，3の倍数の目が出たらAはBと持っている札を交換し，その他の目が出たらAはCと札を交換する．この試行をn回繰り返した後に，赤い札をA,B,Cが持っている確率を，それぞれa_n,b_n,c_nとする．
(1)n≧2のとき，a_n,b_n,c_nをa_{n-1},b_{n-1},c_{n-1}で表せ．
(2)a_nを求めよ．
(1)
AがBと札を交換する確率は\frac13であり，AがCと札を交換する確率は\frac23であるから，
a_n=\frac13b_{n-1}+\frac23c_{n-1},
b_n=\frac13a_{n-1}+\frac23b_{n-1},
c_n=\frac13c_{n-1}+\frac23a_{n-1}
(2)
\frac13c_{n-1}=c_n-\frac23a_{n-1}，\frac23b_{n-1}=b_n-\frac13a_{n-1}より
a_n=\frac12(b_n-\frac13a_{n-1})+2(c_n-\frac23a_{n-1})=-\frac32a_{n-1}+\frac12b_n+2c_n．
ここで，a_n+b_n+c_n=1より\frac12b_n+2c_n=a_n+\frac32b_n+3c_n-1=a_n+\frac92a_{n+1}-1なので
a_{n+1}=\frac13a_{n-1}+\frac29つまりa_{n+1}-\frac13=\frac13(a_{n-1}-\frac13)．
a_1=0であるから，n=2k+1(k:整数)のときa_n=\frac13-\frac1{3^{k+1}}．
また，(1)の結果はa_0=1,b_0=c_0=0と定義すればn=1でも成立することに注意すると
n=2k(k:整数)のときa_n=\frac13+\frac2{3^{k+1}}．
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最終更新：2013年10月13日 06:01