大学入試数学過去問
大学入試数学過去問

k94s6

θが0から2πまで変化するとき，点P(θ)=(2cosθ-cos2θ,2sinθ-sin2θ)の描く曲線を考える．
(1)この曲線の全長Lを求めよ．
(2)この曲線の0\leq\theta\leq\theta_nの長さが\frac Lnとなるように\theta_nを定めるとき，極限値\lim_{n\to\infty}\sqrt n\theta_nを求めよ．
(1)
f(θ)=2cosθ-cos2θ, g(θ)=2sinθ-sin2θとおく．
f'(θ)=-2sinθ+2sin2θ, g'(θ)=2cosθ-2cos2θ．
\{f'(\theta)\}^2+\{g'(\theta)\}^2=4(2-2(\sin\theta\sin2\theta+\cos\theta\cos2\theta))=8(1-\cos\theta)=(4\sin\frac\theta2)^2
0≦θ≦2πで\sin\frac\theta2\geq0なので
L=\int_0^{2\pi}\sqrt{\{f'(\theta)\}^2+\{g'(\theta)\}^2}d\theta=\int_0^{2\pi}4\sin\frac\theta2d\theta=[-8\cos\frac\theta2]_0^{2\pi}=16
(2)
(1)より
\frac Ln=[-8\cos\frac\theta2]_0^{\theta_n}=8(1-\cos\frac{\theta_n}2)=(4\sin\frac{\theta_n}4)^2．
これより\sqrt n\cdot4\sin\frac{\theta_n}4=\sqrt L=4．
n→∞で\theta_n\to0であるから，\lim_{n\to\infty}\frac{4}{\theta_n}\sin\frac{\theta_n}4=1なので
\lim_{n\to\infty}\sqrt n\theta_n=\lim_{n\to\infty}\sqrt n\theta_n(\frac{4}{\theta_n}\sin\frac{\theta_n}4)=4．
「k94s6」をウィキ内検索
最終更新：2013年10月13日 06:21