大学入試数学過去問
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k94ks1

a+b+c=0を満たす実数a,b,cについて，(|a|+|b|+|c|)^2\geq2(a^2+b^2+c^2)が成り立つことを示せ．また，ここで等号が成り立つのはどんな場合か．
0=(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2caより-(a^2+b^2+c^2)=2ab+2bc+2ca
(与式左辺)-(与式右辺)=2|a||b|+2|b||c|+2|c||a|-(a^2+b^2+c^2)=2(|ab|+ab)+2(|bc|+bc)+2(|ca|+ca)\geq0．
等号成立はab≦0かつbc≦0かつca≦0のとき．
このとき0≧(ab)(bc)(ca)=a^2b^2c^2よりa,b,cの少なくとも1つが0となるが，これはab≦0かつbc≦0かつca≦0を満たす．
よって，等号成立条件はa,b,cの少なくとも1つが0であること．
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最終更新：2013年10月13日 06:30