k94ks2 - 大学入試数学過去問

a,b,c,dを整数とし，行列を考える．とし，自然数nに対してとする．このとき，
(1)n≧0について，を示せ．
(2)pを素数とし，a+dはpで割り切れないものとする．ある自然数kについて，とがpで割り切れるならば，全てのnについてはpで割り切れることを示せ．

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(1)
ケーリーハミルトンの定理よりであり，これにを掛けて．両辺の1行1列成分を比較して求める式を得る．
(2)
(i)n≧kの範囲
あるjについてとがpで割り切れるとすると，(1)にn=jを代入したものよりもpで割り切れる．
とがpで割り切れるので，数学的帰納法によりn≧kなるnについてはpで割り切れる．
(ii)n<kの範囲
は割り切れる．
ある1≦j<kについてがpで割り切れず，がpで割り切れるとする．
(1)にn=jを代入したものより，ad-bcはpで割り切れる．
(1)にn=j-1を代入したものより，はpで割り切れるが，a+dはpで割り切れないのでこれは仮定に反する．
従ってn<kなるnについてはpで割り切れる．

(i)(ii)より示された．