大学入試数学過去問
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k94ks3

xy平面上で,(1,1)を中心とする半径1の円をCとする．P,Qはそれぞれx軸，y軸の正の部分にある点で，線分PQが円Cに接しているとする．正三角形PQRを第一象限内に描くとき，頂点Rの座標(a,b)について，a,bの間に成り立つ関係式を求めよ．
P(p,0),Q(0,q)とおくと，PQの式は\frac xp+\frac yq=1であり，
これが円Cに接する，つまりこの線分と(1,1)の距離が1なので
|\frac1p+\frac1q-1|=\sqrt{(\frac1p)^2+(\frac1q)^2}
平方して整理すると(p-2)(q-2)=2…(*)．

さて，PQの中点をMとおくと，M(\frac p2,\frac q2)であり，\vec{MP}=(\frac p2,-\frac q2)．
ここで，\vec{MR}は\vec{MP}に垂直であり，MR=\sqrt3MPであるから，\vec{MR}=(\pm\frac{\sqrt3}2q,\pm\frac{\sqrt3}2p) (複号同順)である．
これより，R(a,b)は(\frac p2\pm\frac{\sqrt3}2q,\frac q2\pm\frac{\sqrt3}2p)であるがこれは第一象限にあるので複号は正．
p,qについて解くと(p,q)=(\sqrt3b-a,\sqrt3a-b)であり，これを(*)に代入して
(\sqrt3b-a-2)(\sqrt3a-b-2)=2が求める関係式．
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最終更新：2013年10月13日 07:54