大学入試数学過去問
大学入試数学過去問

k94ks5

実数rは2πr>1を満たすとする．半径rの円の周上に2点P,Qを，弧PQの長さが1になるようにとる．点Rが弧PQ上をPからQまで動くとき，弦PRが動いて通過する部分の面積をS(r)とする．
rが変化するとき，面積S(r)の最大値を求めよ．
S(r)は弧PQと弦PQに囲まれた部分の面積である．
扇型O-PQの中心角θ(0<θ<2π)は\frac1rである．
扇型O-PQの面積は\frac r2．
△OPQの面積は\frac{r^2}2|\sin\frac1r|．
S(r)はθ<πのときは扇型O-PQの面積から△OPQの面積を引いたものであり，θ>πのときは扇型O-PQの面積に△OPQの面積を加えたものであることに注意して
S(r)=\frac r2-\frac{r^2}2\sin\frac1r．
S&#039;(r)=\frac12-r\sin\frac1r+\frac12\cos\frac1r=\frac12(1+\cos\theta)-\frac{\sin\theta}{\theta}=\frac2\theta\cos^2\frac\theta2(\frac\theta2-\tan\frac\theta2)．
これよりS(r)はθ=πつまりr=\frac1\piのとき極大となる．極大値はS(\frac1\pi)=\frac1{2\pi}．
r&gt;\frac1{2\pi}であり，\lim_{r\to\frac1{2\pi}+0}S(r)=\frac1{4\pi}，
また，r&gt;\frac1\piのときOからPQに下ろした垂線の足をHとすると，OH=r\cos\frac1{2r}であり，△OPQの面積は中心角\frac1r，半径OHの扇型の面積より大きいので
S(r)&lt;\frac1{2r}(r^2-r^2\cos^2\frac1{2r})=\frac r2\sin^2\frac1{2r}\to 0 (r→∞)．
以上より，S(\frac1\pi)=\frac1{2\pi}はSの最大値である．
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最終更新：2013年10月13日 09:23